ユークリッドの互除法メニュー - IQパズルステップ https://chokomon.com ちょこっと頭を良くするIQパズル問題集 Mon, 22 Aug 2022 19:09:25 +0000 ja hourly 1 https://chokomon.com/wp-content/uploads/2022/02/cropped-icon512-32x32.png ユークリッドの互除法メニュー - IQパズルステップ https://chokomon.com 32 32 【ユークリッドの互除法メニュー】ax + by = c (paizaランク C)-解答例-PHP編 https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-04-00594/ https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-04-00594/#respond Mon, 22 Aug 2022 19:09:25 +0000 https://chokomon.com/?p=6541 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 4 ax + by = c (paizaランク C 相当) [難易度: 1626 ±36] ※リンク先へ移動するためには[paiza]へのログインが必要です。 解答…]]> 【ユークリッドの互除法メニュー】> 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 4 ax + by = c (paizaランク C 相当) [難易度: 1626 ±36]

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問題文

ユークリッドの互除法の操作を応用させると、一見最大公約数とは関連のなさそうな 2 変数の一次方程式の整数解を求めることができます。

例として、15x + 100y = 10 の整数解 x , y を求めることを考えます。
x , y の係数である 15 , 100 についてユークリッドの互除法の操作を行うと、100 / 15 = 6 余り 10
この式を変形することで、 100 - 6×15 = 10 が得られるので、答えは x = -6 , y = 1 と求まります。

整数 A,B,C が与えられるので、Ax + By = C の整数解 x , y の値を 1 行で半角スペース区切りで出力してください。
解の組 (x , y) のうち、x または y が 1 であるような解の組の値を出力してください。

ただし、 C = A%B または C = B%A であることが保証されています。

入力値（例）
8373 24 21

出力値（例）
1 -348

解答例

<?php
    list($a, $b, $c) = explode(" ", trim(fgets(STDIN)));

    if ($a > $b) {
        printf("%d %d\n", 1, ($c - $a) / $b);
        
    }else if ($a < $b) {
        printf("%d %d\n", ($c - $b) / $a, 1);
    }
    return 0;
?>
]]> https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-04-00594/feed/ 0 【ユークリッドの互除法メニュー】最小公倍数 (paizaランク C)-解答例-PHP編 https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-03-00593/ https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-03-00593/#respond Mon, 22 Aug 2022 18:25:37 +0000 https://chokomon.com/?p=6534 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 3 最小公倍数 (paizaランク C 相当) [難易度: 1517 ±34] ※リンク先へ移動するためには[paiza]へのログインが必要です。 解答例]]> 【ユークリッドの互除法メニュー】> 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 3 最小公倍数 (paizaランク C 相当) [難易度: 1517 ±34]

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問題文

最大公約数（以後 gcd）と対になる値として、最小公倍数（以後 lcm）があります。
一般的に直接 lcm を求めるよりも、gcd を求めてから計算によって lcm を求める方が簡単とされています。
2 つの整数 A , B の lcm(A,B) は、lcm(A,B) = A×B/gcd(A,B) で求めることができます。
2 つの整数 A , B が与えられるので、lcm (A,B) を求めてください。

入力値（例）
6 39

出力値（例）
78

解答例

<?php
    list($a, $b) = explode(" ", trim(fgets(STDIN)));
    
    //最大公約数
    function gcd($x, $y){
        if($y > $x) list($x, $y) = array($y, $x);
         
        while($y !== 0){
            $tmp = $y;
            $y = $x % $y;
            $x = $tmp;
        }
        return $x;
    }
     
    //最小公倍数
    function lcm($x, $y){
        return $x * $y / gcd($x, $y);
    }
    
    echo lcm($a, $b);
?>
]]> https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-03-00593/feed/ 0 【ユークリッドの互除法メニュー】3 つ以上の整数の最大公約数 (paizaランク C)-解答例-PHP編 https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-02-00586/ https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-02-00586/#respond Sat, 20 Aug 2022 02:30:16 +0000 https://chokomon.com/?p=6488 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 2 3 つ以上の整数の最大公約数 (paizaランク C 相当) [難易度: 1661 ±30] ※リンク先へ移動するためには[paiza]へのログインが必要です。…]]> 【ユークリッドの互除法メニュー】> 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 2 3 つ以上の整数の最大公約数 (paizaランク C 相当) [難易度: 1661 ±30]

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問題文

2 つの整数 A , B の最大公約数（以後 gcd(A , B))を高速に求めるアルゴリズムとして、ユークリッドの互除法があります。
gcd の演算では、3 つの整数 a, b, c の最大公約数は、gcd(gcd(a,b),c) で求めることができます。
これは 4 つ以上の整数の場合も同様に、a , b , c , d , e , ... の最大公約数は
gcd(...gcd(gcd(gcd(gcd(a,b),c),d),e)...) で求めることができます。

例として、(9,27,33) の最大公約数は gcd(gcd(9,27),33) = gcd(9,33) = 3 といった具合に求めることができます。

与えられる整数の数 N と、整数 A_1, ..., A_N が与えられるので、 A_1, ..., A_N の最大公約数を求めてください。

入力値（例）
3
6
18
30

出力値（例）
6

解答例

<?php
    $n = trim(fgets(STDIN));
    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        $a[] = trim(fgets(STDIN));
    }
    
    $ans = $a[0];
    
    for ($i = 0; $i < $n-1; $i++) {
        $ans = gcd($ans, $a[$i+1]);
    }
    
    printf("%d\n", $ans);
    
    function gcd($x, $y) {
        if($x == 0) return $y;
        if($y == 0) return $x;
        
        if ($x > $y) {
            return gcd($x % $y, $y);
            
        } elseif ($y > $x) {
            return gcd($x, $y % $x);
        }
        
        return -1;
    }
?>
]]> https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-02-00586/feed/ 0 【ユークリッドの互除法メニュー】ユークリッドの互除法 (paizaランク C)-解答例-PHP編 https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-01-00585/ https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-01-00585/#respond Fri, 19 Aug 2022 19:07:12 +0000 https://chokomon.com/?p=6481 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 1 ユークリッドの互除法 (paizaランク C 相当) [難易度: 1383 ±27] ※リンク先へ移動するためには[paiza]へのログインが必要です。 解答例]]> 【ユークリッドの互除法メニュー】> 【拡張ユークリッドの互除法】STEP: 1 ユークリッドの互除法 (paizaランク C 相当) [難易度: 1383 ±27]

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問題文

2 つの整数 A , B の最大公約数（以後 gcd(A , B)）を高速に求めるアルゴリズムとして、ユークリッドの互除法があります。
gcd(A, B) をユークリッドの互除法で求める手順は次の通りです。

1. A , B のうち、いずれかが 0 の場合 手順 3 に進む
2. A , B のうち小さい方で大きい方をわり、大きい方をその余りで置き換え、手順 1 に戻る
3. このとき、0 でない方の数が求めたい最大公約数になっている。

例として A = 15 , B = 40 にユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求めると、次の通りになります。
（[]内の数字は手順の番号を表す）

[2] A = 15 , B = 40
[3] A < B なので B / A = 2 余り 10 より B = 10
[2] A = 15 , B = 10
[3] B < A なので A / B = 1 余り 5 より A = 5
[2] A = 5 , B = 10
[3] A < B なので B / A = 2 余り 0 より B = 0
[2] A = 5 , B = 0
[4] よって、15 と 40 の最大公約数は 5 となる。

2 つの整数 A , B が与えられるので、ユークリッドの互除法を用いて A , B の最大公約数を求めましょう。

入力値（例）
45 15

出力値（例）
15

解答例

<?php
    list($a, $b) = explode(" ", trim(fgets(STDIN)));
    
    // 自然数 a > b を確認・入替
    if ($a < $b) {
        $tmp = $a;
        $a = $b;
        $b = $tmp;
    }
    
    // ユークリッドの互除法
    $r = $a % $b;
    while ($r != 0) {
        $a = $b;
        $b = $r;
        $r = $a % $b;
    }
    echo $b. "\n";
?>
]]> https://chokomon.com/24-euclidean_primer-01-01-00585/feed/ 0