【ループメニュー2】階乗の末尾に 0 はいくつ付く？ (paizaランク C)-解答例-PHP編

2022年6月19日

【ループメニュー2】> 【約数の列挙】STEP: 10 階乗の末尾に 0 はいくつ付く？ (paizaランク C 相当) [難易度: 1448 ±28]

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問題文

整数 N が与えられます。
N の階乗 N! の末尾に 0 がいくつ付くか求め、出力してください。

入力値（例）
100

出力値（例）
24

解答例

<?php
    $n = trim(fgets(STDIN));

    $i = 1;
    $zero = 0;
    while($i < 5) {
        $zero += $n / (5 ** $i);
        $i++;
    }
    echo floor($zero);
?>

<?php

$n = trim(fgets(STDIN));

$i = 1;

$zero = 0;

while($i < 5) {

$zero += $n / (5 ** $i);

$i++;

}

echo floor($zero);

解説

階乗とは、1からある数までの連続する整数の積のことです。

整数5の場合、
5! = 5*4*3*2*1 = 120　となります。

階乗の表（外部リンク）を見ると、5!以降は末尾に0が付くようになります。

そしてその法則は以下のようになります。

①末尾に並ぶ０の個数はｎ!におけるｎが５の倍数のときその直前より増える。

②５の倍数からその４つ先までは０の個数は変化しない。

③５の倍数，たとえば５,10，15，20のときはその直前よりも末尾に並ぶ０の個数が１個だけ多くなるが，25のときはその直前よりも２個だけ多くなる。

④全体を眺めれば，25，50，75，100という５の倍数のとき(青)の階乗における末尾に並ぶ０の個数はその直前よりも２個だけ多くなるが，それ以外の５の倍数(赤)の階乗における末尾に並ぶ０の個数はその直前よりも１個だけ多くなる。

ですので、入力値nを(5**$i)で割り続ければゼロの数が数えられるということです。

【外部リンク】啓林館-アクティブラーニングの一例～階乗の表から学ぶn!の末尾に並ぶ０の個数～

感想

ですので、とか言っていますが、自分でなんでだか分からなくなってしまったので、もう少し考えます。( TДT)ｺﾞﾒﾝﾖｰ

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